Egyenletes eloszlás

Az egyenletes eloszlás célja egy olyan folytonos eloszlási modell biztosítása, melyben egy bizonyos intervallumról származó értékeket azonos valószínűséggel fordulnak elő.

Definíció

Legyenek $a,b$ valós számok, úgy, hogy $a < b$ . Az $X$ valószínűségi változó egyenletes eloszlást követ, azaz $X \sim \mathrm{U}(a, b)$ , ha sűrűségfüggvénye

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{{b - a}}, &\quad x \in \left[ a,b \right] \\ 0, &\quad \text{különben} \end{cases}

drawing — Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

Definíció

Az $\mathrm{U}(a, b)$ egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye:

F(x) = \begin{cases} 0, & x \le a \\ \frac{{x - a}}{{b - a}}, & a < x \le b \\ 1, & x \ge b \end{cases}

megjegyzés

Az integrálás során $\int \frac{1}{b-a} \mathrm{d}x = \frac{x}{b-a}+C$ adódik, ahol $C$ értékét $-\frac{a}{b-a}$ -ként választjuk meg, hogy megfeleljünk az eloszlásfüggvény definíciójának.

Tétel

Ha $X \sim \mathrm{U}(a, b)$ , akkor

\mathrm{E}(X) = \frac{a+b}{2} \qquad \mathrm{D}^2(X) = \frac{(b-a)^2}{12}