Valószínűségi változó

A klasszikus valószínűség fogalmával számos jelenség valószínűségét vizsgálni tudtuk. Sok eseménynél, azonban nem jellemző az szimmetria, amit a klasszikus valószínűségi mező megkövetel.

Definíció

Egy olyan változót, melynek értéke a véletlentől függ valószínűségi változónak nevezünk.

Sokkal több jelenséget tudnánk leírni, ha rögzítés helyett, az valószínűséget egy függvénnyel adnánk meg, melyet a különböző eloszlásfajtákra más-más módon kell definiálni.

Eloszlások fajtái

Az eloszlásoknak között megkülönböztetünk diszkrét és folytonos eloszlásokat.

A diszkrét eloszlások esetén a valószínűségi változó értékkészlete megszámlálható (azaz minden eleme, véges vagy végtelen, sorozatba rendezhető pl. $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$).

Folytonos eloszlásoknál a valószínűségi változó értékkészlete egy megszámlálhatatlanul végtelen halmaz (azaz nem lehet a halmaz elemeiből olyan sorozatot képezni, mely annak minden elemét tartalmazza, pl. $\mathbb{Q}^*, \mathbb{R}, \mathbb{C}$).

Eloszlások jellemzői

Minden eloszláshoz kapcsolódnak különböző, statisztikai szempontból fontos, mérőszámok (más néven momentumok).

információ

Gyakran a momentumok hatványait a következő módon jelöljük $(\E(X))^2 = \E^2(X)$.

Várható érték

A lehetséges értékek valószínűséggel súlyozott átlaga. Ha sok kísérletet hajtunk végre a kapott $k$ értékek átlaga ehhez az értékhez tart.

Jele: $\mathrm{E}(X)$, ahol $X$ egy valószínűségi változó.

Tulajdonságok

1. $\E(X+Y) = \E(X) + \E(Y)$
2. Ha $a$ egy tetszőleges konstans $\E(aX)=a\E(X)$
3. Ha $u = \E(X)$, akkor $\E(u) = u$.

Szórásnégyzet (variancia)

A szórás azt mutatja meg, hogy a kísérletet sokszor ismételve a kapott $k$ értékek átlagosan milyen messze fognak elhelyezkedni a várható értéktől.

A szórásnégyzetet az eloszlás típusától függetlenül a következő módon definiáljuk:

Definíció

$$\mathrm{D}^2(X) = \E((X-\E(X))^2) = \E(X^2) - \E^2(X)$$

Levezetés

$$\begin{align*} \mathrm{D}^2(X) &= \E((X-\E(X))^2) \\ &= \E(X^2 -2 X \E(X) + \E^2(X)) \\ &= \E(X^2) - \E( 2 X \E(X)) + \E(\E^2(X)) \\ &= \E(X^2) - 2 \cdot \E(\E(X)) \cdot \E(X) + E^2(X) \\ &= \E(X^2) - 2 \cdot \E^2(X) + \E^2(X) \\ &= \E(X^2) - \E^2(X) \end{align*}$$