Diszkrét eloszlások

Egy valószínűségi változó diszkrét, ha értékkészlete megszámlálható.

Súlyfüggvény

Definíció

Az $X$ valószínűsége változó súlyfüggvényének nevezzük a $\pr(X = k)$ függvényt, mely az $X$ értékkészletének elemeihez azok valószínűségét rendeli.

Nyilvánvalóan ezt a függvényt, úgy kell definiálnunk, hogy betartsa a valószínűségi axiómákat. Emiatt

$$\sum_{k=1}^{\infty}{x_k \cdot p_k} = 1$$

Példa

A cinkelt kocka ($k$ értékei a kockán szereplő számok) eloszlása:

$$\begin{align*} \pr(X=1)&=\frac{1}{21} \quad \pr(X=2)=\frac{2}{21} \quad \pr(X=3)=\frac{3}{21} \\ \pr(X=4)&=\frac{4}{21} \quad \pr(X=5)=\frac{5}{21} \quad \pr(X=6)=\frac{6}{21} \end{align*}$$

Várható érték

Definíció

Legyen $X$ egy diszkrét valószínűségi változó, mely az $x_1,x_2,\dots$ értékeket, $p_1,p_2,\dots$ valószínűséggel vesz fel, ekkor $X$ várható értékének nevezzük a

$$\E(X) = \sum_{k=1}^{\infty}{x_k \cdot p_k}$$

végtelen sor összegét (amennyiben a sor abszolút konvergens).

Sok esetben ez csak véges sok tag összeadását jelenti. Például kockadobás esetén:

$$\sum_{k=1}^{6}{x_k \cdot \frac{1}{6}} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \dots + \frac{5}{6} + 1 = 3,5$$

megjegyzés

Ez pont a dobókocka számainak átlaga.

Tehát a várható érték a lehetséges értékek azok valószínűségével súlyozott összege.

Nevezetes diszkrét eloszlások

A legtöbb diszkrét valószínűségi változóval modellezhető jelenség valamilyen nevezetes eloszlást követ.

Eloszlás (paraméter)	$k \in$	$\mathrm{P}(X = k)$	$E(X)$	$D^2X$
Binomiális $\mathrm{B}(n,p)$	$\mathbb{N}$	${n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$n^2p^2$
Poisson $\mathrm{Poi}(\lambda)$	$\mathbb{N}$	$\frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda^2$
Geometriai $\mathrm{Geo}(p)$	$\mathbb{N}^+$	$p^{k-1}(1-p)$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
Negatív binomiális $\mathrm{NB}(r, p)$	$\mathbb{N}$	${k+r-1 \choose k} p^r (1-p)^k$	$\frac{r(1-p)}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$
Hipergeometriai $\mathrm{HipGeo}(N, K, n)$	$\mathbb{N}$	$\frac{{K \choose k}{N-K \choose n-k}}{{N \choose n}}$	$n \frac{K}{N}$	$n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$