Negatív binomiális eloszlás

veszély

A negatív binomiális eloszlást több módon is szokták értelmezni.

Azt vizsgálja, hogy valamilyen sorrendben történt $k$ sikertelen és $(r-1)$ sikeres kísérlet után, mennyi a valószínűsége annak, hogy az $(r+k)$-adik kísérlet sikeres lesz.

Annak valószínűsége, hogy $k$ sikertelen kísérletünk van $(p-1)^{k}$ annak, hogy $(r-1)$ sikeres $p^{r-1}$. Mivel az $r+k$-adik sikeresnek kell lennie, meg meg kell szoroznunk a valószínűségét $p$-vel.

Még meg kell határoznunk mely kísérletek voltak sikeresek. Ezt $r+k-1 \choose r-1$ módon tudjuk kiválasztani.

megjegyzés

Természetesen a képletben kiválaszthattuk volna a sikertelen kísérletek helyeit is a binomiális együtthatók szimmetriája miatt.

Definíció

Legyen $p$ az $A$ esemény valószínűsége, $r$ a sikeres, $k$ a sikertelen kísérletek száma. $X$-et Negatív binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye

$$\pr(X = k) = {r+k-1 \choose r-1} \cdot p^{r} \cdot (1-p)^{k} \quad (k \in \mathbb{N})$$

Vegyük észre, hogy $r=1$ esetén a sűrűségfüggvény képlete: $\pr(X = k) = p \cdot (1-p)^{k} \quad (k \in \mathbb{N})$, ami nyilvánvalóan geometriai eloszlást követ.

Tétel

Ha $X \sim \mathrm{NB}(r, p)$, akkor

$$\mathrm{E}(X) = \frac{r(1-p)}{p} \qquad \mathrm{D}^2(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$$