Poisson-eloszlás

Az eloszlás egy rögzített $\lambda$ időtartam alatt, vagy felszínen megfigyelhető események számának valószínűségét írja le, ha az események egymástól függetlenül következnek be, állandó ráta mellett. Például, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy 1 óra alatt 10 telefonhívás érkezik.

Ilyen például az egy térkőre hulló esőcseppek száma, vagy a porosz hadseregben a lórúgás okozta halálesetek száma (Bortkiewicz,1898).

Ha annak a valószínűsége, hogy pontosan $k$ vizsgált esemény következik be, csak a vizsgált intervallum hosszától függ a valószínűsége változó Poisson-eloszlást követ.

Definíció

Legyen $\lambda > 0$ egy tetszőleges valós szám, ekkor $X$-et Poisson eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye

$$\pr(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot e^{-\lambda}$$

megjegyzés

$\frac{\lambda^k}{k!}$ az $e^\lambda$ függvény sorba fejtéséből származik.

Tétel

Ha $X \sim \mathrm{Poi}(\lambda)$, akkor

$$\mathrm{E}(X) = \lambda = \mathrm{D}^2(X)$$