Statisztika

A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati tevékenység és tudomány.

— Wikipédia

Definíció

Független azonos eloszlású, valószínűségi változók egy $X_1, X_2, \dots X_n$ sorozatát mintának nevezzük.

A valószínűségi változók egy konkrét $\omega$ eseményre való kiértékelését azaz a $X_1(\omega) = x_1 , X_2(\omega) = x_2 , \dots, X_n(\omega) = x_n$ sorozatot a minta realizációjának nevezzük.

Az $(n-1)$ számot a minta szabadsági fokának nevezzük.

Minta például:

• egy hét napi középhőmérsékletei
• egy osztály testmagasságai
• egy részvény napi árfolyama

A statisztika, mint tudományág minták elemzésével foglalkozik.

Definíció (Statisztikai függvény)

Statisztika függvénynek (vagy röviden csak statisztikának) nevezzük az olyan többváltozós függvényeket, melyek értelmezési tartománya minta elemeit helyettesítjük.

Ez a definíció lehetővé teszi számunkra, az adathalmaz leírását, illetve következtetéséket felállítását is.

Statisztika például a jól ismert és gyakran előforduló átlag, szórás, módusz és medián.

Nevezetes statisztikák

Tekintsük adottnak az $X = X_1, X_2, \dots X_n$ mintát, ekkor statisztikák a következők.

Mintaátlag

A minta elemeinek összege osztva a minta számosságával.

$$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{X_i}$$

megjegyzés

Ez éppen a várható érték $\E(X)$.

Tapasztalati szórás

Az mintaelemek átlagtól való átlagos abszolút eltérés.

$$s_n = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{\left( X_i - \overline{X} \right)^2}}$$

megjegyzés

A tapasztalati elnevezés arra utal, hogy a minta elemei alapján áll elő.

Korrigált tapasztalati szórás

$$s_n^* = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}{\left( X_i - \overline{X} \right)^2}}$$

megjegyzés

Tehát nem az elemszámmal hanem a minta szabadsági fokával osztunk.

Tapasztalati momentum

Legyen $k \in \mathbb{N}^+$, ekkor a $k$-adik tapasztalati momentum:

$$m_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{X_i^k}$$

Tapasztalati medián

A leggyakrabban előforduló érték.

Rendezett minta

Az $X = X_1, \dots, X_n$ minta rendezése nem csökkenő sorrendben: $X_1^* \le \dots \le X_n^*$.

Tapasztalati módusz

A rendezett minta

• középső ($X^*_{\frac{n+1}{2}}$) eleme, ha a minta számossága páratlan
• a két középső elemek ($X^*_{\frac{n}{2}}$ és $X^*_{\frac{n+1}{2}}$) átlaga, ha a minta számossága páros

Terjedelem

A rendezett minta utolsó és első elemének különbsége.

$$R = X_n^* - X_1^*$$

Kvantilis

A $q_z$ kvantilis alatt a minta egy olyan feloszlását értjük, ahol a mintaelemek $z$-ed része legfeljebb a további $(1-z)$-ed része pedig legalább a $q_z$ értéket veszi fel.

Kvartilis

Kvartilisnek nevezzük a

• $Q_1 = q_{\frac{1}{4}}$: alsó (vagy első) kvartilis
• $Q_2 = q_{\frac{1}{2}}$: medián
• $Q_3 = q_{\frac{3}{4}}$: felső kvartilis

kvantiliseket.

A Big Data tárgyról ismert Pokémon adathalmaz HP értékeinek kvartilisei:

Kvartilis	Érték
$Q_1$	50
$Q_2$	65
$Q_3$	80