Intervallumbecslések

Az eddig látott becsléseink mindegyike ún. pontbecslés volt, hiszen egyetlen értékkel közelítettük az ismeretlen paraméter értékét. Most viszont olyan becsléseket fogunk alkalmazni, amik elég nagy valószínűséggel beszorítják egy zárt intervallumra az eloszlás ismeretlen paraméterének értékét.

Az paraméter értékére állításokat, ún. hipotéziseket teszünk.

Hipotézisvizsgálat

Egy $H_0$ nullhipotézist állítunk fel az ismeretlen paraméterekre, melynek igazságtartalmát egy statisztikai függvényen (másszóval statisztikai próba vagy próbastasztika) keresztül vizsgáljuk.

Emellé felállítunk egy $H_1$ ellenhipotézist is, amit a nullhipotézis elutasítása esetén fogadunk el.

A próbástatisztika kiértékelése valamilyen érték lesz, melynek segítségével eldönthetjük elfogadjuk, vagy elutasítjuk a nullhipotézist.

Ehhez szükséges annak a definiálása is, hogy milyen intervallumba eső értékek esetén fogadjuk el a nullhipotézist.

Konfidenciaintervallum

Az elfogadott értékek az eloszlás valamely intervallumáról kerülnek ki, amit konfidenciaintervallumnak nevezünk.

Az ezen kívüli értékeket halmazát pedig kritikus tartomány(oknak) nevezzük.

A konfidenciaintervallumot, mindig úgy definiáljuk, hogy a lehetséges értékek egy adott százalékát tartalmazzák. Ezt az általunk definiált határt szignifikanciaszintnek nevezünk és $\alpha$-val jelölünk.

Az $\alpha$ szignifikanciaszint azt fejezi ki, hogy a lehetséges értékek $(1-\alpha) \cdot 100\%$-át fogadjuk el. Azt, hogy az eloszlás mely részeit fogadjuk el, általában a nullhipotézis relációja alapján döntjük el.

Egyenlőség

Egyenlőség esetén akkor fogadjuk el a nullhipotézist, ha az $x$ próbastasztika értéke egyik oldalon se lépi túl az általunk elvárt szintet. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk hogy $x$ értéke a kritikus kvantilisek között helyezkedik el:

$$x \in \left( -x_{ \frac{\alpha}{2} }, \; x_{ 1 - \frac{\alpha}{2} } \right)$$

információ

Ha az eloszlás szimmetrikus $\left( -x_{ 1 - \frac{\alpha}{2} }, \; x_{ 1 - \frac{\alpha}{2} } \right) = \left(x_{\frac{\alpha}{2}}, x_{1-\frac{\alpha}{2}} \right)$.

Az $m=m_0$ nullhipotézis kritikus tartományai

Kisebb, nagyobb

veszély

$\ge$ és $\le$ nullhipotézisek esetén csak az eloszlás egyik oldala esik a kritikus tartományba, Emiatt nem az $1-\frac{\alpha}{2}$, hanem csak simán az $1-\alpha$ kvartiliseket határozzuk meg.

Nagyobb reláció esetén a túl kicsi értékeket alkotják a kritikus tartományt.

Az $m \ge m_0$ nullhipotézis kritikus tartományai

Értelemszerűen kisebb esetén pedig a túl nagy értékek.

Az $m \le m_0$ nullhipotézis kritikus tartományai