Becslések

A statisztika egy fontos területe a becslés.

Tiszta matematikai szempontból a valószínűségszámításnál szerencsénk volt, hiszen mindig olyan eloszlásokról beszéltünk, melyeknek paramétereit ismertük.

A valóságban azonban sokszor nem ismerjük az eloszlások paramétereit, így azokat becslülnünk kell.

Definíció (torzítatlan becslés)

A $T(X_1, X_2, \dots, X_n)$ statisztikai függvény torzítatlanul becsli a $g(p)$ függvényt, ha a tetszőleges $p$ paraméter esetén:

\E_p(T(X_1, X_2, \dots, X_n)) = g(p)

megjegyzés

$g$ általában az identitásfüggvény.

Torzítatlan becslés például a mintaátlag: $X_1, X_2, \dots, X_n$ azonos eloszlású valószínűségi változók. Legyen

\begin{align*} T(X_1, X_2, \dots, X_n) &= \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \\ E(X_i) &= p \end{align*}

Ekkor:

E_p(T(X_1, X_2, \dots, X_n)) = \E_p \left( {\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}} \right)

Ami

\begin{align*} \E_p\left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=0}^{n}{(X_i)} \right) &= \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=0}^{n}{\E_p(X_i)} \quad \text{(várható érték additív)} \\ &= \frac{1}{n} \cdot n \cdot p \\ &= p \end{align*}

Torzítatlan becslés még a relatív gyakoriság is. Legyen adott egy $p$ valószínűségű esemény, ekkor az eseményeket egy-egy indikátor változóval tudjuk reprezentálni.

\begin{cases} X_i = \frac{1}{n}, \quad &\text{ha sikeres az } i \text{-edik kísérlet} \\ X_i = 0, \quad &\text{különben} \end{cases}

Ekkor $\underbrace{X_1 + X_2 + \dots + X_k}_{k}$ éppen $\frac{k}{n}$ , ami a relatív gyakoriság, így

\E(X_1 + X_2 + \dots + X_k) = \sum_{i=1}^{n}\E(X_i) = n \cdot p \cdot \frac{1}{n} = p

Példa (4.1)

Legyenek $X_1, X_2, \dots, X_n$ azonos eloszlású valószínűségi változók, $m$ várható értékkel.

Torzítatlan becslés-e $T(X) = X_8$ ?

\E_m(T(X_1, \dots, X_n)) = \E_m(X_8) = m