Normális eloszlás

Definíció

Az $X$ valószínűségi változó normális eloszlást követ, azaz $X \sim \mathrm{N}(m, \sigma^2)$, ha sűrűségfüggvénye

$$\frac{1}{{\sigma\sqrt{2\pi}}} \cdot e^{-\frac{{(x - m)^2}}{{2\sigma^2}}}$$

ahol $\sigma$ és $m$ tetszőleges valós számok.

A normális eloszlás sűrűségfüggvényé a haranggörbe:

Különböző paraméterezésű normális eloszlások sűrűségfüggvényei

Eloszlásfüggvényére nincs általános képlet. Emiatt általában a standard normális eloszlásra szoktuk visszavezetni.

Különböző paraméterezésű normális eloszlások eloszlásfüggvényei

Tétel

Ha $X \sim \mathrm{N}(m, \sigma^2)$, akkor

$$\mathrm{E}(X) = m \qquad \mathrm{D}^2(X) = \sigma^2$$

Standard normális eloszlás

Definíció

Az $X \sim \mathrm{N}(0, 1)$, akkor X-et standard normális eloszlásúnak nevezzük. A sűrűségfüggvénye a következő módon változik meg:

$$\frac{1}{{\sqrt{2\pi}}} \cdot e^{-\frac{{x^2}}{2}}$$

Sűrűségfüggvény:

Eloszlásfüggvénye bonyolult, értékeit a gyakorlatban táblázatból szoktuk kiolvasni.

Tétel

Ha $X \sim \mathrm{N}(0, 1)$, akkor

$$\mathrm{E}(X) = 0 \qquad \mathrm{D}^2(X) = 1$$

Standardizálás

Bármely normális eloszlást követő valószínűségi változót vissza tudjuk vezetni a standard normális eloszlásra.

Tétel

Legyen $X \sim \mathrm{N}(m, \sigma^2)$, ekkor

$$\frac{N-m}{\sigma} \sim \mathrm{N}(0,1)$$

PÉLDA

Tegyük fel, hogy egy populációban az intelligenciahányados normális eloszlású $110$ várható értékkel és $10$ szórással. Mi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott ember IQ-ja $120$ feletti?

Jelölje $X$ az IQ változót. Tudjuk, hogy $X$ normális eloszlást követ, a megadott paraméterekkel, azaz $X \sim N(110, 10^2)$. Ekkor

$$\begin{align*} \mathrm{P}(X > 120) &= \mathrm{P}\left( X - 110 > 10 \right) \\ &= \mathrm{P}\left( \frac{X - 110}{10} > 1 \right) \\ &= 1 - \Phi(1) \end{align*}$$