Exponenciális eloszlás

Az exponenciális eloszlást véletlenszerű időtartamok modellezésére használják.

Definíció

Legyen $\lambda > 0$. Az $X$ valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ,azaz $X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$, ha sűrűségfüggvénye

$$f(x) = \begin{cases} \lambda \cdot e^{-\lambda x}, &\quad \text{ha } x > 0 \\ 0, &\quad \text{különben} \end{cases}$$

az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye $\lambda = 0,5$ (piros), $\lambda = 1$ (zöld) és $\lambda = 1,5$ (kék) paraméterek esetén

az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye $\lambda = 0,5$ (piros), $\lambda = 1$ (zöld) és $\lambda = 1,5$ (kék) paraméterek esetén

Definíció

Az $\mathrm{Exp}(a, b)$ exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye:

$$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, &\quad \text{ha } x > 0 \\ 0, &\quad \text{különben} \end{cases}$$

Tétel

Ha $X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$, akkor

$$\mathrm{E}(X) = \frac{1}{\lambda} \qquad \mathrm{D}^2(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$

Ha $X$ egy időpontot jelöl, akkor $\pr(X \ge T+t \mid X \ge T) = \pr(X \ge t)$ azaz, ha egy esemény egy T időpontig nem következett be a bekövetkezés esélye az idő múlásával sem növekszik.

Ilyen eloszlással modellezhető például a radioaktív anyagok exponenciális bomlása.