Geometriai-eloszlás

Azt vizsgálja, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy $(k-1)$ sikeres kísérlet után sikertelen kísérlet következik.

Annak valószínűsége, hogy $k-1$ sikeres kísérletünk van $p^{k-1}$ annak, hogy az utolsó kísérlet sikertelen pedig $(1-p)$.

Definíció

Legyen $p$ az $A$ esemény valószínűsége, ekkor $X$-et Geometriai eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye

$$\pr(X = k) = p^{k-1} \cdot (1-p) \quad (k \in \mathbb{N^+})$$

A következő ábra az érmedobás (zöld) $X \sim \mathrm{Geo}(\frac{1}{2})$ és a 6-os dobása kockával (piros) $Y \sim \mathrm{Geo}(\frac{1}{6})$ valószínűségi változók sűrűségfüggvényét ábrázolja.

Tétel

Ha $X \sim \mathrm{Geo}(p)$, akkor

$$\mathrm{E}(X) = \frac{1}{p} \qquad \mathrm{D}^2(X) = \frac{1-p}{p^2}$$