Események

A valószínűségszámításban egy többször is megismételhető jelenséget kísérletnek nevezünk. Egy kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek (jele: $\omega$), az összes kimenetelt tartalmazó halmazt eseménytérnek (jele: $\Omega$) nevezzük.

Az eseménytér részhalmazait eseményeknek nevezzük. Ezek olyan jelenségek, melyek bekövetkezte a kísérlet után egyértelműen eldönthető.

Megkülönböztetünk két speciális eseményt $\Omega$ (más jelöléssel: $I$) eseményt biztos eseménynek az $\emptyset$ (más jelöléssel: $O$) eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük.

Példa

Egy pakli magyar kártyából lapot húzunk. Ekkor az eseménytér a $\left\lbrace \omega_1 = \text{tök alsót húzunk}, \omega_2 = \text{tök felsőt húzunk} \dots \right\rbrace$ halmaz. Ekkor események a következők:

• Piros nyolcast húzunk (elemi esemény)
• Tököt húzunk (8 elemi eseményből álló esemény)
• Kártyát húzunk (biztos esemény)
• Nem tököt húzunk (24 elemi eseményből álló komplementer esemény)
• Nem kártyát húzunk (lehetetlen esemény)

Műveletek

megjegyzés

Mivel az eseményeket halmazokkal definiáltuk, műveleteik és azok tulajdonságai megegyeznek a halmazoknál tanultakkal.

Összeg

Azt az eseményt, amikor $A$ és $B$ események közül legalább az egyik bekövetkezik, a két esemény összegének, hívjuk és $(A \cup B)$-vel vagy $(A+B)$-vel jelöljük.

Szorzat

Azt az eseményt, amikor $A$ és $B$ esemény is bekövetkezik, a két esemény szorzatának hívjuk és $(A \cap B)$-vel vagy $AB$-vel jelöljük.

Komplementer

Azt az eseményt, amikor nem az $A$ esemény következik be, az $A$ $\Omega$-ra vett komplementer eseményének hívjuk és $\overline{A}$ módon jelöljük.

Különbség

Azt az eseményt, amikor $A$ bekövetkezik, de $B$ nem, a két esemény különbségének hívjuk és $(A \setminus B)$-vel vagy $(A - B)$-vel jelöljük.

Ebből viszonylag természetesen következik a valószínűség fogalma:

$$\mathrm{P}(A) = \frac{\left| A \right|}{\left| \Omega \right|}$$

Azaz az $A$ esemény valószínűsége a kedvező kimenetelek száma osztva az összes kimenetel számával.

Műveletek tulajdonságai

Tulajdonság	Összeg	Szorzat
Idempotencia	$A \cup A = A$	$A \cap A = A$
Kommutativitás	$A \cup B = B \cup A$	$A \cap B = B \cap A$
Asszociativitás	$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$	$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
Disztributivitás	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$	$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

A halmazokhoz hasonlóan $A \cap \bar{A} = \emptyset$ és $A \cup \bar{A} = \Omega$.

Teljesülnek továbbá a DeMorgan azonosságok: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ és $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.

Egymást kizáró események

Azt mondjuk $A$ és $B$ események egymást kizáróak, ha egyszerre sosem következnek be, azaz $AB = \emptyset$.

Teljes eseményrendszer

Események egy $A_1, A_2, \dots, A_n$ rendszerét, teljes eseményrendszernek hívjuk, ha

$$A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega$$