Binomiális eloszlás

A binomiális eloszlás azt vizsgálja, hogy $n$ kísérlet esetén mekkora a valószínűsége annak, hogy éppen $k$ kísérlet volt sikeres.

Definíció

$$\mathrm{P}(X = k) = \underbrace{{n \choose k}}_{\text{mely kísérletek sikeresek}} \cdot \underbrace{p^k}_{\text{esély, hogy } k \text{ sikeres van}} \cdot \underbrace{(1-p)^{n-k}}_{\text{maradék kísérlet sikertelen}}$$

Példa

Egy gyár $0,01$ valószínűséggel gyárt hibás terméket. Mekkora annak a valószínűsége, hogy $100$ legyártott termékből pontosan $4$ lesz hibás?

Mivel $X$ binomiális eloszlást ($X \sim \B(4; 0,01)$) követ ezért:

$${100 \choose 4} \cdot 0,01^4 \cdot 0,99^{96}$$

Tétel

A binomiális eloszlás várható értéke:

$$\E(\B(n,p)) = np \qquad \mathrm{D}^2(X) = n^2 p^2$$

Bizonyítás (várható érték)

A várható érték definíciójából:

$$\sum_{k=0}^{n}{k \cdot {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}}$$

Mivel $k = 0$ esetén a teljes szorzat $0$, ezért az összegzést indíthatjuk $1$-ről is. Kihasználva, hogy

$${n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot (n-k)!} = \frac{n}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot ((n-1)-(k-1))!} = \frac{n}{k} \cdot {n-1 \choose k-1}$$

így,

$$\begin{align*} \E(\B(n,p)) &= \sum_{k=1}^{n}{k \cdot \frac{n}{k} \cdot {n-1 \choose k-1} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}} \\ &= n \cdot \sum_{k=1}^{n}{{n-1 \choose k-1} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}} \qquad \backslash k = j + 1 \\ &= n \cdot \sum_{j=0}^{n-1}{{n-1 \choose j} \cdot p^{j+1} \cdot (1-p)^{n-j-1}} \\ &= np \cdot \sum_{j=0}^{n-1}{{n-1 \choose j} \cdot p^{j} \cdot (1-p)^{n-j-1}} \end{align*}$$

Ekkor a szummázott kifejezés a $\B(n-1, p)$ eloszlás valószínűségeinek összege, melyről az axiómák miatt tudjuk, hogy $1$.

Így:

$$\E(\B(n,p)) = np$$

Példa

Egy fémöntödében minden gyártási folyamat $0,001$ valószínűséggel megszakad. Határozzuk meg, $10000$ gyártásból várhatóan hány fog megszakadni!

$$\E(\B(10000; 0,0001)) = 10000 \cdot 0,0001 = 10$$