Abszolút folytonos eloszlások

Egy valószínűségi változó folytonos, ha lehetséges értékeinek halmaza nem megszámlálható.

Sűrűségfüggvény

A végtelen sok tag miatt a diszkrét eloszlásoknál is használt összeadás kivitelezhetetlenné válik, ezért valami más megfeleltetést kell találnunk, amit sűrűségfüggvénynek fogunk nevezni.

Definíció

Az $f$ integrálható, nemnegatív értékű a valós számok halmazán értelmezett függvényt sűrűségfüggvénynek nevezzük, ha

$$\int \limits^{+\infty}_{-\infty}{f(x) \, \mathrm{d}x} = 1$$

megjegyzés

Ez pontosan azt a feltételt fogalmazza meg, hogy a függvény görbe alatti területe 1. Ez megfelel az eddig ismert feltételnek, miszerint az események valószínűségeinek összege 1.

veszély

A sűrűségfüggvény nem ekvivalens súlyfüggvénnyel. Sőt, önmagában nem is képes a kérdéses valószínűség megadására, csupán segédfüggvénykényként használjuk.

A sűrűségfüggvény önmagában nem képes valószínűségek magadására, azonban egy adott $k$ érték esetén a sűrűségfüggvény görbe alatti területe, az $(-\infty, k)$ intervallumon pontosan annak a valószínűségét adja meg, hogy $X$ értéke kisebb, mint $k$.

A $\sigma$ szórású normális eloszlás sűrűségfüggvénye

Eloszlásfüggvény

A görbe alatti terület meghatározását integrálással tudjuk megtenni. Ezt az integrált fogjuk eloszlásfüggvénynek nevezni.

Definíció

Legyen $f$ egy sűrűségfüggvény, ekkor az $F(t)=P(X \le t)$ függvényt a következő módon definiáljuk:

$$\mathrm{F}(t) = \int \limits^{t}_{-\infty}{f(x) \, \mathrm{d}x}$$

veszély

Mivel az eloszlásfüggvény értelmezési tartománya végtelen halmaz, ezért $P(X = t)$ értéke szükségszerűen $0$.

Az integrálás tulajdonságai miatt:

• $P(X \le a)=P(X<a)=F(a)$
• $P(X \ge a)=P(X>a)=1 − F(a)$
• $P(a \le X \le b)=P(a < X \le b)=P(a \le X < b)=P(a < X < b)=F(b) − F(a)$

Az eloszlásfüggvény tulajdonságai a következők:

• $0 \le \mathrm{F}(t) \le 1$
• $\mathrm{F}(t)$ monoton növekvő
• $\mathrm{F}(t)$ határértéke a plusz végtelenben $1$ és a mínusz végtelenben pedig $0$

PÉLDA

Legyen $X$ egy folytonos valószínűségi változó a $[0, c]$ intervallumon, sűrűségfüggvénye:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{9}, &\quad \text{ha } 0 \le x < c \\ 0, &\quad \text{különben} \end{cases}$$

Határozzuk meg $c$-t és $X$ eloszlásfüggvényét!

A definíció miatt tudjuk, hogy $f(x)$ határozott integrálja a $[0, c]$ intervallumon 1. Azaz

$$1 = \int\limits^{c}_{0}{\frac{x^2}{9}} \mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{27}\right]_0^c = \frac{c^3}{27} - \frac{0}{27}$$

Tehát a következő egyenletet kell megoldani:

$$\begin{align*} 1 &= \frac{c^3}{27} \quad \backslash \cdot 27, \sqrt[3]{\,} \\ c &= 3 \end{align*}$$

Már csak egy olyan függvényt kell konstruálnunk, mely megfelel az eloszlásfüggvény tulajdonságainak. Az előbb meghatározott, $\frac{x^3}{27}$ integrál monoton növekvő, illetve értékkészlete is a $[0, 1]$ intervallumba esik.

A határértékekre vonatkozó követelményeket pedig úgy fogjuk biztosítani, hogy a függvény $0$-nál kisebb értékek esetén nullát $c$-nél nagyobb értékek esetén pedig $1$-et fog felvenni. Összegezve az eloszlásfüggvény a következő lesz:

$$F(x) = \begin{cases} 0, &\quad x \le 0 \\ \frac{1}{27}x^3, &\quad 0 \le x < 3 \\ 1, &\quad x > 3 \end{cases}$$

Várható érték

Egy folytonos valószínűségi változó várható értéke a következő:

$$\mathrm{E}(x) = \int \limits^{+\infty}_{-\infty}{x \cdot f(x) \, \mathrm{d}x}$$

tanács

Sokszor az eloszlást csak egy rögzített intervallumon nézzük. Ekkor az integrál határai lecsökkenthetők az intervallumra.

Nevezetes folytonos eloszlások

Név (paraméterek)	$k \in$	Sűrűségfüggvény ($f$)	Eloszlásfüggvény ($F$)	$\mathrm{E}(X)$	$\mathrm{D}^2(X)$
Standard Normális $\mathrm{N}(0, 1)$	$(-\infty, \infty)$	$\frac{1}{{\sqrt{2\pi}}} e^{-\frac{{x^2}}{{2}}}$	$\Phi(x)$	0	1
Normális $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$	$(-\infty, \infty)$	$\frac{1}{{\sigma\sqrt{2\pi}}} e^{-\frac{{(x - m)^2}}{{2\sigma^2}}}$	visszavezethető $\Phi(x)$-re	$m$	$\sigma^2$
Egyenletes $\mathrm{U}[a, b]$	$[a, b]$	$\begin{cases} \frac{1}{{b - a}}, &\quad x \in \left[ a,b \right] \\ 0, &\quad \text{különben} \end{cases}$	$\begin{cases} 0, & x \le a \\ \frac{{x - a}}{{b - a}} & a < x \le b \\ 1, & x \ge b \end{cases}$	$\frac{{a + b}}{2}$	$\frac{{(b - a)^2}}{12}$
Exponenciális $\mathrm{Exp}(\lambda)$	$(0, \infty)$	$\begin{cases} \lambda \cdot e^{-\lambda x}, &\quad \text{ha } x > 0 \\ 0, &\quad \text{különben} \end{cases}$	$\begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, &\quad \text{ha } x > 0 \\ 0, &\quad \text{különben} \end{cases}$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$

megjegyzés

$\Phi(x)$ egy bonyolult függvény, ezért a gyakorlatban értékeit táblázatból szoktuk kiolvasni.