Momentum módszer

Adottak az, $X_1, X_2, \dots, X_n$ független és azonos eloszlású valószínűségi változók. Mivel azonos eloszlásúak minden $k \in \mathbb{N}+$ esetén a tapasztalati momentumok megegyeznek, azaz:

$$\E(X_1^k) = \E(X_2^k) = \dots = \E(X_n^k)$$

Ekkor az eloszlás $k$ db paraméterére a következő ($k$ egyenletből álló) egyenletrendszer megoldásával adhatunk becslést

$$\left\lbrace\begin{align*} \E(X_1) & = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} \\ \E(X_1^2) & = \frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} \\ & \,\,\, \vdots \\ \E(X_1^k) & = \frac{x_1^k + \dots + x_n^k}{n} \end{align*}\right.$$

tanács

Az eloszlások nagy része maximum két paraméterrel rendelkezik, ezért sokszor csak egy kétismeretlenes egyenletrendszert kell megoldanunk, melyben $\E(X^2)$-et könnyen kifejezhetjük szórásnégyzet definíciójából:

$$\E(X^2) = \D^2(X) + \E^2(X)$$

Tehát azt használjuk ki, hogy a különböző eloszlások esetén adottak az első két momentum képlete.

példa

Adott a következő diszkrét eloszlás:

$$\pr(X_i = -1) = c, \quad \pr(X_i = 1) = 3c, \quad \pr(X_i = 2) = 1 - 4c$$

Az eloszlásból egy 20 elemű mintát veszünk:

Érték	Gyakoriság
-1	4
1	10
2	6

Adjunk becslést a $c$ paraméterre momentum módszerrel!

Mivel csak egy ismeretlenünk van, egy elsőfokú egyenletet kell megoldanunk.

$$\E(X_1) = \frac{4 \cdot (-1) + 10 \cdot 1 + 6 \cdot 2}{20} = \frac{9}{10}$$

A várható érték definíciójából következik, hogy:

$$\E(X_1) = -1 \cdot c + 1 \cdot 3c + (1- 4c) \cdot 2 = 2 - 6c$$

Így:

$$\begin{align*} \E(X_1) = 2 - 6c &= \frac{9}{10} \\ 6c &= 2 - \frac{9}{10} \\ c &= \frac{2 - \frac{9}{10}}{6} = \frac{11}{60} \end{align*}$$

Tehát $c$-re a $\frac{11}{60}$ becslést tudjuk adni.

példa

Adott $n$ darab ugyan azt az egyenletes eloszlást követő valószínűségi változó. Adjunk az eloszlásra momentum becslést!

Az egyenletes eloszlásnak két paramétere $a$ és $b$, ezért az $\E(X_1)$ és $\E(X_1^2)$ momentumokból alkotott egyenletrendszert kell megoldanunk.

Az egyenletes eloszlás várható értékének és varianciájának képletéből:

$$\left\lbrace \begin{align*} \E(X_1) &= \frac{a+b}{2} \\ \E(X_1^2) &= \D^2(X) + \E^2(X) = \frac{(b-a)^2}{12} + \left(\frac{a+b}{2} \right)^2 \\ \end{align*} \right.$$

Rendezve a második egyenletet:

$$\begin{align*} \frac{(b-a)^2}{12} + \left(\frac{a+b}{2} \right)^2 &= \frac{b^2-2ab+a^2}{12} + \frac{a^2+2ab+b^2}{4} \\ &= \frac{b^2-2ab+a^2 + 3a^2+6ab+3b^2}{12} \\ &= \frac{4b^2+4ab+4a^2}{12} \end{align*}$$

Az első egyenlet alapján: $a = 2 \E(X) - b$.

$$\begin{align*} \frac{b^2+ab+a^2}{3} =& \frac{b^2 + 2\E(X)b - b^2 + 4\E^2(X) - 4\E(X)b + b^2}{3} \\ =& \frac{b^2 - 2\E(X)b + 4\E^2(X)}{3} \end{align*}$$

Ami egy másodfokú egyenlet.