Kétmintás próbák

A kétmintás próbák két minta kapcsolatát vizsgálják.

Adottak a $X \sim \mathrm{N}{\left(m_1, \sigma_1^2\right)}$ és $Y \sim \mathrm{N}{\left( m_2, \sigma_2^2 \right)}$ független normális eloszlású valószínűsége változók, melyekből $n$ pár mintát veszünk.

Tekintsünk a $m_1=m_2$, $m1 \le m_2$, $m1 \ge m_2$ hipotézisek egyikét mint nullhipotézis, ekkor elfogadásáról a minták függetlensége és a szórások ismeretétől függően eltérő módon döntünk a hipotézis elfogadásáról.

	Minták függetlenek	Minták nem függetelenek
$\mathbf{\sigma_1, \sigma_2}$ ismert	kétmintás $u$-próba	egymintás $u$-próba a minták különbségére
$\mathbf{\sigma_1, \sigma_2}$ ismeretlen	Előzetes $F$-próba, majd $$\begin{cases} \text{kétmintás } t\text{-próba}, &\quad \text{ha } \sigma_1 = \sigma_2 \\ \text{Welch-próba}, &\quad \text{ha } \sigma_1 \ne \sigma_2 \end{cases}$$	egymintás $t$-próba a minták különbségére

A minták különbsége alatt azt a mintát értjük, melynek elemei a másik két minta elemeinek páronkénti különbsége.

Kétmintás $u$-próba

Szinte azonos az egymintás $u$-próbával.

Legyenek $X$ egy $n$ és $Y$ egy $m$ elemű normális eloszlást követő minták. Ha, a nullhipotézis teljesül

$$\mathrm{T}(X, Y) = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{m}}}$$

próbastatisztika standard normális eloszlást követ.

Ezt követően a hipotézisvizsgálat megegyezik az egymintás $u$-próbánál tanulttal.

$F$-próba

Mivel a szórások ismeretlenek a korrigált tapasztalati szórással becsüljük őket. Ha teljesül a nullhipotézis:

$$F = \begin{cases} \frac{(S_1^*)^2}{(S_2^*)^2} \; F\text{-eloszlást követ } (n-1), (m-1) \text{ paraméterekkel, ha } (S_1^*)^2 > (S_2^*)^2 \\ \frac{(S_2^*)^2}{(S_1^*)^2} \; F\text{-eloszlást követ } (m-1), (n-1) \text{ paraméterekkel, ha } (S_1^*)^2 < (S_2^*)^2 \end{cases}$$

Értékeit táblázatból olvassuk ki.

Kétmintás $t$-próba

Tegyük fel, hogy a két minta szórása megegyezik, azaz $\sigma_1 = \sigma_2$. Ekkor, ha a nullhipotézis igaz a

$$\mathrm{T}(X,Y) = \sqrt{ \frac{nm}{n+m} } \cdot \frac{ \overline{X} - \overline{Y} }{ \sqrt{\frac{ (n-1) \cdot (S_1^*)^2 + (m-1) \cdot (S_2^*)^2 } {n-1+m-1} } }$$

próbastatisztika, $(n+m-2)$ paraméterű Student-féle $t$-eloszlást követ.

megjegyzés

$S_i^*$ a korrigált tapasztalati szórás.

Ezt követően a hipotézisvizsgálat megegyezik az egymintás $t$-próbánál tanulttal.

Welch-próba

Ha a nullhipotézis igaz,

$$\frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{(S_1^*)^2}{n} + \frac{(S_2^*)^2}{m}}}$$

próbastatisztika $f$ paraméterű Student-féle $t$ eloszlást követ, ahol $f$:

$$f = \frac {\left(\frac{(S_1^*)^2}{n} + \frac{(S_2^*)^2}{m}\right)^2} {\frac{\left(\frac{(S_1^*)^2}{n}\right)^2}{n - 1} + \frac{\left(\frac{(S_2^*)^2}{m}\right)^2}{m - 1}}$$

Feladatok

példa

5.3

Adott két minta két különböző gyáregység selejtarányáról. Elmondható-e, hogy az első egység jobban dolgozott mint a második?

A = [11.9, 12.1, 12.8, 12.2, 12.5, 11.9, 12.5, 11.8, 12.4, 12.9]
B = [12.1, 12.0, 12.9, 12.2, 12.7, 12.6, 12.6, 12.8, 12.0, 13.1]

Mivel a szórások ismeretlenek és a két gyáregység különbözik, $F$-próbát kell végeznünk. Jelölje $m_A$ az A és $m_B$ a B gyáregység selejtarányát.

$H_0: m_A \ge m_B$
$H_1: m_B < m_A$

Először meg kell határozni az átlagokat $\overline{X} = 12,3$ és $\overline{Y} = 12,5$ és a tapasztalati szórásokat:

$$(S_1^*)^2 = \frac{(0,4)^2+\dots+(0,6)^2}{9} = 0,147$$$$(S_2^*)^2 = \frac{(0,41)^2+\dots+(0,6)^2}{9} = 0,158$$

---

$F$-próba

$H_{f_0}: \sigma_1 = \sigma_2$
$H_{f_1}: \sigma_1 \ne \sigma_2$

Ha a nullhipotézis teljesül és $(S_1^*)^2 < (S_2^*)^2$, akkor a $\frac{(S_2^*)^2}{(S_1^*)^2}$ próbastatisztika $F_{m-1,n-1} = F_{9,9}$ eloszlást követ.

$$f = \frac{(S_2^*)^2}{(S_1^*)^2} = \frac{0,147}{0,158} = 1,075$$

Mivel az $F$ eloszlás nem szimmetrikus, külön kell meghatároznunk a két kritikus tartományt. Az $F$-eloszlás baloldali kritikus tartományának vége nagyon közel van nullához, ezért azt ki sem kell számolnunk.

Így elfogadjuk a nullhipotézist, ha

$$f = 1,075 < 4,026 = F_{9; \, 9; \, 0.025}$$

Ami nyilván teljesül, így elfogadjuk az $F$-próba nullhipotézisét. Ezért az eredeti hipotézisünk vizsgálatához egy kétmintás $t$-próbát végzünk.

---

Kétmintás $t$-próba

Az eredeti hipotézisünket vizsgáljuk:
$H_0: m_A \ge m_B$
$H_1: m_B < m_A$

Ha a nullhipotézis teljesül

$$\mathrm{T}(X,Y) = \sqrt{ \frac{nm}{n+m} } \cdot \frac{ \overline{X} - \overline{Y} }{ \sqrt{\frac{ (n-1) \cdot (S_1^*)^2 + (m-1) \cdot (S_2^*)^2 } {n-1+m-1} } }$$

próbastatisztika, Student-féle $t_{n+m-2}=t_{18}$ eloszlást követ. Elvégezve a behelyettesítést $t = -1,146$. Mivel $\ge$ relációt tekintünk a túl kicsi értékeket kell elutasítanunk. Mivel

$$t_{18; 0,05} = -1,734 < -1,146 = t$$

teljesül, ezért nem utasítjuk el a nullhipotézist, tehát nincs bizonyítékunk arra hogy az $A$ gyáregység jobban dolgozna.

példa

5.4

Adott két szervergép. Az elsőn 30 futtatás átlagos ideje 6,7 másodperc a másikon 20 futtatás esetén ez az átlag 7,2 másodperc. A futási idők szórása mindkét gépen 0,5 másodperc.

Van-e szignifikáns különbség a két szerver sebessége között?

$H_0: m_1 = m_2$
$H_1: m_1 \ne m_2$

Mivel a szórások ismertek és a mintahalmazok függetlenek ezért kétmintás $u$-próbát hajtunk végre:

$$\mathrm{T}(X, Y) = \frac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{m}}} = \frac{6,7 - 7,2}{\sqrt{\frac{0,5^2}{30} + \frac{0,5^2}{20}}} \approx -3,46$$

$u_{0,025} = -1,96$. Így, mivel

$$-3,46 \notin \left( -1,96; 1,96 \right)$$

ezért az ellenhipotézist fogadjuk el. Így azt feltételezhetjük, hogy szignifikáns különbség van a két szerver között.

példa

5.5

Két különböző napon megmértük két forgalmas közlekedési csomópontnál a levegőben található szennyezőanyag koncentrációját.

nov15 = [20.9, 17.1, 15.8, 18.8, 20.1, 15.6, 14.8, 24.1, 18.9, 12.5]
nov29 = [21.4, 16.7, 16.4, 19.2, 19.9, 16.6, 15.0, 24.0, 19.2, 13.2]

Szignifikánsan változott-e a légszennyezés?

$H_0: m_{15} = m_{29}$
$H_1: m_{15} \ne m_{29}$

Mivel a mérések ugyan ott készültek a minták nem függetlenek, ezért egy olyan mintát kell nézni mely a két minta elemeinek páronkénti különbségét tartalmazza:

S = [0.5, -0.4, 0.6, 0.4, -0.2, 1.0, 0.2, -0.1, 0.3, 0.7]

Erre egy egymintás $t$-próbát kell végrehajtani. Jelölje $m_k$ a minták várható értékeinek különbségét:

$H_{t_0}: m_{k} = 0$
$H_{t_1}: m_{k} \ne 0$

Ha a $H_{t_0}$ nullhipotézis igaz, a próbastatisztika $t_{9}$-eloszlást követ.

$\overline{S} = 0,3$, így elvégezve a behelyettesítést:

$$\sqrt{n} \cdot \frac{ \overline{X} - m_0 }{ S_n^* } = \sqrt{10} \cdot \frac{ 0,3 - 0 }{ \sqrt{\frac{1}{9} \cdot \sum{(X_i-0.3^2)}} } \approx 2,038$$

Egyenlőséget vizsgálunk ezért a lehetséges értékek két szélét kell kritikus tartománynak venni.

$t_{9;0,025} = -2,262$. Mivel $-2,262 < 2,038 < 2,262$, ezért elfogadjuk a nullhipotézist, tehát kimondhatjuk, hogy a legszennyezés nem változott.