Egymintás próbák

Az egymintás próbák, egyetlen mintából tesznek következtetést a eloszlás hiányzó paramétereire.

$u$-próba

Adott $X$ egy $n$ elemű minta, melynek szórása ($\sigma$) ismert. Tegyük fel hogy, $X \sim \mathrm{N}{\left( m, \sigma^2 \right)}$.

Az $u$ próba nullhipotézise ($H_0$), hogy az eloszlás várható értéke valamilyen ellentétes relációban áll ($\ne, <, >$) egy általunk választott $m_0$ értékkel.

Ellenhipotézise ($H_1$), hogy az eloszlás várható értéke, a nullhipotézis relációjával ellentétes ($=, \le, \ge$), relációban áll az $m_0$ értékkel.

Ha a nullhipotézis teljesül, a

$$\mathrm{T}(X) = \sqrt{n} \cdot \frac{\overline{X} - m_0}{\sigma}$$

próbastatisztika standard normális eloszlású.

Ezt követően az általunk definiált szignifikanciaszint alapján meghatározzuk kritikus tartományokat. Ehhez a sűrűségfüggvény inverze, azaz $\Phi^{-1}$ szükséges, ami egy bonyolult függvény, értékeit táblázatból olvassuk ki.

Ehhez meg kell találnunk az $(1-\alpha)$-hoz legközelebbi értéket, ekkor $u_{(1-\alpha)}$ a cella oszlopának és sorának fejléccelláiban szereplő számok összege.

Példa (5.2)

Ismerjük, az elmúlt négy évben, hány fok volt az október 18.-i középhőmérséklet Budapesten:

S = [14.8, 12.2, 16.8, 11.1]

A középhőmérséklet szórása: $\sigma = 2$.

Legyen a szignifikanciaszint: $\alpha = 0,05$.

b) kisebb mint 15°C

Október 18-án 15°C alatt volt-e Budapesten a napi középhőmérséklet?

Ekkor nullhipotézisként azt tesszük fel, hogy a napi középhőmérséklet 15°C fölött volt azaz $H_0: m \ge 15 = m_0$.

Ekkor ellenhipotézisünk $H_1$: $m < 15$

Mivel ismerjük a szórást, $u$-próbát fogunk használni. Meg kell határozni a mintaátlagot:

$$\overline{X} = \frac{14,8 + 12,2 + 16,8 + 11,1}{4} = 13,725$$$$u = \sqrt{4} \cdot \frac{13,725 - 15}{2} = -1,275$$

A nullhipotézist akkor utasítjuk el, ha a próbastatisztika ($u$) értéke kisebb mint $u_{0,05}$.

Az $u$ értéket $\Phi$ táblázatból tudjuk kiolvasni:

	0.00	0.02	0.04	0.05
-1,6	0,0548	0,0526	0,0505	0,0495

A keresett érték nem szerepel a táblázatban. Mivel $0,0495 < 0,05 < 0,0505$, ezért $u_{0,05}$ értéke valahol $-1,604$ és $-1,605$ között van. Az egyszerűség kedvért válasszuk értékül a két szám átlagát.

Mivel $-1,275 > -1,6045$, ezért nem utasítjuk el a nullhipotézist. Így nincs bizonyítékunk arra, hogy a középhőmérséklet 15°C alatti lenne.

d) nem 15°C

Különbözni fog-e az október 18-i középhőmérséklet Budapesten a 15°C-tól.

Ekkor nullhipotézisünk $H_0: m = 15$, ellenhipotézisünk $H_1: m \ne 15$.

A próbastatisztikát már ismerjük az előző feladatból: $u = -1,275$.

A kritikus tartományok azonban az eloszlás két végén találhatóak., ezért a konfidenciaintervallum:

$$\left(-u_{1-\frac{\alpha}{2}}; u_{1-\frac{\alpha}{2}} \right) = \left(-u_{0,975}; u_{0,975} \right)$$

A $\Phi$ táblázatból: $u_{0,975} = 1,96$. Tehát a konfidenciaintervallum:

$$\left(-1,96; \, 1,96 \right)$$

Mivel $-1,96 < -1,275 < 1,96$, ezért elfogadjuk a nullhipotézist. Tehát nincs elég bizonyítékunk arra, hogy nem 15°C lesz a középhőmérséklet.

$t$-próba

Az $u$ próbához hasonló, de $\mathbf{\sigma}$ ismeretlen ezért egy torzítatlan becsléssel, az $X$ minta korrigált tapasztalati szórásával fogjuk helyettesíteni.

Egy null és ellenhipotézist teszünk.

Ha a nullhipotézis teljesül, akkor a

$$\mathrm{T}(X) = \sqrt{n} \cdot \frac{ \overline{X} - m_0 }{ s_n^* } = \sqrt{n} \cdot \frac{ \overline{X} - m_0 }{ \sqrt{ \frac{1}{n-1} \cdot \sum_{i=0}^n{ \left( X_i-\overline{X} \right)^2} } }$$

statisztikai próba $(n-1)$ paraméterű Student-féle $t$-eloszlást követ. Ennek értékeit táblázatból olvassuk ki.

veszély

Ez a táblázat nem ekvivalens a standard normális eloszlás táblázatával!

Ezt követően a nullhipotézis vizsgálatánál az $u$-próbával azonos módon járunk el.

Példa 5.2/c

Oldjuk meg az 5.2/B feladatot úgy, hogy nem ismerjük $\sigma$ értékét. Mivel $\sigma$ ismeretlen egyértelműen $t$-próbát kell végeznünk. Hipotéziseink változatlanok: $H_0: m \ge 15, \; H_1: m < 15$.

Becsüljük először $\sigma$-t:

$$S_n^* = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot (1,075^2 + 1,525^2 + 3,075^2 + 2,625^2)} \approx 2,57$$

Ezt felhasználva:

$$u = \sqrt{4} \cdot \frac{13,725 - 15}{ s_n^* } \approx -0,991$$

Ami Student $t$ eloszlást követ, melynek paramétere $3$. Szignifikanciaszintünk továbbra is $0,05$, ezért a $t_{3; 0,05}$ értéket keressük, amit táblázatból tudunk kiolvasni.

	szignifikanciaszint ($\alpha$)
Eloszlás paramétere	0,10	0,05	0,025	0,01
1	3,078	6,314	12,71	31,82
2	1,886	2,920	4,303	6,965
3	1,638	2,353	3,182	4,541

információ

A Student-féle $t$ eloszlás szimmetrikus ezért $t_{x; \, \alpha} = -t_{x; \, 1-\alpha}$.

Mivel $t = -0,991 < -2,353$, ezért $t$ a konfidenciaintervallumba esik, így elfogadjuk a nullhipotézist.